Random walks in the quarter-plane with zero drift: an explicit criterion for the finiteness of the associated group

In many recent studies on random walks with small jumps in the quarter plane, it has been noticed that the so-called group of the walk governs the behavior of a number of quantities, in particular through its order. In this paper, when the drift of the random walk is equal to 0, we provide an effective criterion giving the order of this group. More generally, we also show that in all cases where the genus of the algebraic curve defined by the kernel is 0, the group is infinite, except precisely for the zero drift case, where finiteness is quite possible. Key-words: Automorphism, generating function, genus, piecewise homogeneous random walk, quarter-plane, Weierstrass elliptic function. ∗ INRIA Paris-Rocquencourt, Domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France. Email: [email protected] † Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Postfach 100131, 33501 Bielefeld, Deutschland. Email: [email protected] in ria -0 05 72 27 6, v er si on 1 1 M ar 2 01 1 Marches aléatoires dans le quart de plan avec dérive nulle: un critère explicite de finitude pour le groupe associé Résumé : Dans plusieurs études récentes sur les marches aléatoires dans le quart de plan avec des sauts vers les huit plus proches voisins, il apparat que le comportement de certaines quantits d’intérêt est directement lié au groupe de la marche, notamment à la finitude de son ordre. Pour les marches dérive nulle, nous donnons une formule pour l’ordre de ce groupe, en fonction explicite des probabilits de saut. De façon générale, lorsque le genre de la courbe algébrique définie par le noyau est 0, le groupe est toujours infini, sauf précisément lorsque le saut moyen est nul, auquel cas la finitude est parfaitement possible. Mots-clés : Automorphisme, fonction génératrice, genre, marche aléatoire homogène par morceaux, quart de plan, fonction elliptique de Weierstrass. in ria -0 05 72 27 6, v er si on 1 1 M ar 2 01 1 An explicit criterion for the finiteness of the group in the genus 0 case 3